페르미-디랙 분포함수
-해당 에너지 준위를 전자가 차지하고 있을 확률을 구하는 식이다. 일반적인 경우 f_F(E) = \cfrac {1}{1 + \exp (\cfrac{E-E_F}{kT})}
- 만약 E-E_F이 kT보다 상당히 크다면, f_F(E) = \exp [\cfrac {-(E-E_F)}{kT}]
열평형상태
- 열평형상태 전자농도 n_0 = N_c \exp [ \cfrac {E_C-E_f}{kT}]
여기서 N_C는 전도대의 유효상태밀도함수라 하여 주어진다. N_C = 2(\cfrac{2\pi m_n^* kT}{h^2})^{\cfrac{3}{2}} - 열평형상태 정공농도 p_0 = N_v \exp [\cfrac{-(E_F - E_v)}{kT}]
여기서 N_V는 가전자대의 유효상태밀도함수라 하여 주어진다. N_v = 2(\cfrac{2\pi m_p^* kT}{{h^2}})^{\cfrac{3}{2}}
진성반도체
- 진성캐리어농도 n_i = \sqrt{N_C N_V }\ \exp [\cfrac{-E_g}{2kT}]
- 진성반도체에서는 n_0 = p_0 = n_i
n_0 p_0 = n_i ^2
외인성반도체
외인성반도체의 평형상태 농도
-
외인성반도체의 평형상태 전자 정공 농도
n_0 = N_c \exp [\cfrac{-(E_C-E_F)}{kT}]= n_0 = n_i \exp [\cfrac{E_F-E_{Fi}}{kT}]
p_0 = N_v \exp [\cfrac{-(E_F-E_V)}{kT}]
(E_C, E_V, E_F 의 위치에 조심할것, 까딱하면 계산값이 확 튀어버린다.) -
외인성반도체에서도 아래의 식은 항상 성립한다!
n_0 p_0 = n_i ^2 -
외인성반도체에서의 진성 캐리어농도
n_i = Nc \exp [\cfrac {-(E_C-E_{Fi})}{kT}]
n_0 = n_i \exp [\cfrac{E_F-E_{Fi}}{kT}]외인성 n형 반도체의 경우
- 다수캐리어는 전자 , 소수캐리어는 정공
- 그렇기 때문에 전자농도는 도핑된 도너 농도와 같다
n_0 = N_D \ \ \ \ \ ,\ \ \ p_0 = \cfrac{n_i^2}{N_D} - 페르미 레벨은 미드갭 에너지에서 조금 더 올라간다.
E_F = E_{Fi} + kT \ln (\cfrac{N_D}{ni})
E_F = E_C - kT \ln (\cfrac{N_c}{n_0}) = E_C - kT \ln (\cfrac{N_C}{N_D})
외인성 p형 반도체의 경우
- 다수캐리어는 정공, 소수캐리어는 전자
- 그렇기 때문에 정공농도는 도핑된 억셉터 농도와 같다.
p_0 = N_A \ \ \ \ , \ \ \ n_0 = \cfrac{n_i^2}{N_A} - 페르미 레벨은 미드갭 에너지에서 조금 더 내려간다.
E_F = E_{Fi} + kT \ln (\cfrac{ni}{N_A})
E_F = E_V + kT \ln (\cfrac{N_V}{p_0}) = E_V + kT \ln (\cfrac{N_V}{N_A})
보상 반도체
같은 영역에 도너와 억셉터를 동시에 도핑한 반도체
-
N_D > N_A : 도너를 억셉터보다 더 많이 도핑하면 n형 반도체
-
N_D < N_A : 억셉터를 도너보다 더 많이 도핑하면 p형 반도체
-
N_D = N_A : 완전 보상 반도체, 진성 반도체처럼 n_0 = p_0 , 그렇지만 얘를 intrinsic 반도체라고 하지는 않는다.
-
이온화된 농도
-
이온화된 억셉터 농도
N_a^- = N_A - p_a \ \ \ \ \ \ (p_a는 \ 비이온화\ 억셉터정공\ 농도) -
이온화된 도너 농도
N_d ^+ = N_d - n_d\ \ \ \ \ \ \ (n_d는 \ 비이온화\ 도너 \ 농도 \ ) -
전하중성조건, 즉 전기적인 중성을 띠고 있는 상태이므로 n_0 + N_a^- = p_ 0 + N_d^+ \ \ \ \ ( n_0,\ p_0\ 은\ 자유전자농도와 \ 자유정공농도)
-
완전이온화를 가정하면 다음과 같이 된다. n_0 + N_A = p_0 + N_D
-
보상 N형 반도체
- 자유전자 농도 n_{0,보상} = N_D - N_A
Ch2. 반송자 이동과 재결합 현상
- 열속도 : 특정 온도의 열평형상태에서 반도체 내의 전자와 정공은 열속도를 가지고 이동
v_{th} = \sqrt{\cfrac{3kT}{m^*}} \ \ , \ \ m^* : 유효질량 - 캐리어의 이동은
- 전계에 의한 표동전류 Drift current
- 캐리어 농도의 기울기에 의한 확산전류 Diffusion current
표동운동 DRIFT CURRENT
- 전자이동도 \mu = \cfrac {-q\tau}{m^*} \ \ \ \ , \tau: 평균충돌시간
- 전자의 표동속도 v_{x,avge} = -\mu_u \mathcal{E}_x
- 드리프트 전류밀도
전자만\ 따졌을\ 때 \ : \ \ \ J_x = en\mu_n \mathcal{E}_x = \sigma \mathcal{E}_x
전자\ 정공\ 모두\ 고려할\ 때\ J = e(n\mu_n + p\mu_p)\mathcal{E} = \sigma \mathcal{E}
\sigma = e(n\mu_n + p\mu_p ) \ \ \ \ : \ \ \ 전기전도도 -
총 표동전류밀도 J_{drift} = e (n \mu_n + p \mu_p ) \mathcal {E} = \sigma \mathcal{E}
포논
- 격자의 진동파를 양자화한 개념, 포논 농도는 절대온도에 비례. 근데 포논 개념이 앞으로 중요할진 모르겠음.
확산 DIFFUSION CURRENT
전자 확산계수와 정공 확산계수
D_n \ : 전자\ 확산계수 \ \ \ \ \ \ \ \ D_p \ : \ 정공\ 확산계수
확산전류밀도
J_{n, diff} = eD_n \cfrac{dn(x)}{dx}
J_{p,diff} = -e D_p \cfrac{dp(x)}{dx}
그래서! 다 합하면?
J_n = J_{n, drift} + J_{n, diff} = en\mu_n \mathcal {E} + e D_n \cfrac{dn(x)}{dx}
J _ p = J _ {p, drift} + J_{p, diff} = ep\mu_p \mathcal {E} \ - \ e D_p \cfrac{dp(x)}{dx}
J_{tot} = e(n\mu_n + p\mu_p) \mathcal {E} + e(D_n \cfrac{dn(x)}{dx}-D_p \cfrac{dp(x)}{dx}
근데 시발 그 D_n과 이동도 중 하나만 주어지거나 하면 어카는데?
아인슈타인 관계식
\cfrac {D_n}{\mu_n} = \cfrac{kT}{e} = 열전압 \ \ V_{th}