다음과 같은 콘택트 렌즈 모양의 개곡면이 있다고 가정합시다.
이 개곡면 S 의 가장자리는 반시계 방향의 폐곡선 C입니다.
이때 백터장의 회전(curl)에 대한 곡면 S에서의 면적분은 Stokes theorem에 의해 폐곡면 C 에 대한 선적분으로 변환하여 계산할 수 있습니다.
\iint_{S}( \nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \space d\mathbf{S} \overset{\mathbf{Stokes}}{=} \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\vec{\mathbf{r}}
그런데 여기서 한 가지 꼼수를 쓸 수 있습니다.
면적분을 선적분으로 만드는 게 스톡스 정리라면 다시 선적분을 면적분으로 만들 수 있지 않을까.
네 맞습니다. 그게 놀랍게도 가능합니다.
즉, 콘택트 렌즈를 눌러서 납작하게 짜부시킨다면,
이런 모양이 되겠지요. 이 곡면은 S’라고 합시다.
그러면 다시 면적분으로 변화시킨다면 최종적으론 이게 성립하게 됩니다.
단, 여기서 주의해야 할 점은, 벡터장 F가 저 S’라는 영역 내에서 연속이어야 이것이 성립한다는 겁니다! 이건 Green’s Theorem이나 Divergence Theorem이나 마찬가지입니다.
\iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \space dS \overset{\mathbf{Stokes}}{=} \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\vec{\mathbf{r}} \overset{\mathbf{Stokes}}{=} \iint_{S'} (\nabla \times \mathbf{F} )\cdot \mathbf{n'} d\mathbf{S'}
이때 곡면에 대한 법선 벡터는, 그대로 S를 아래로 짜부시켰으므로 위로 향하겠죠? 정말 다행히도 이제 이 곡면은 평면이 되었기 때문에,
\mathbb{n'} = \mathbf{\hat{k}}
가 되겠죠? 즉, 일반적인 곡면에서의 법선벡터를 구하기 위한 복잡한 계산이 생략 가능하다는 겁니다.
또한 Curl을 구할 때 어차피 뒤의 \hat{\mathbf{k}} 와 내적을 취하기 때문에 curl의 모든 성분을 구할 필요 없이 z 성분만 구해주면 됩니다.
그리고 가장 중요한 점은. 만약 저 S’가 Cartessian space의 z=0에 있다고 한다면, 면의 정보를 집어넣을 때 z=0이 대입되면서 어지간한 항들이 다 날아가겠지요?
z \neq 0이라 하더라도, z=c가 되면서 대입하는 과정에서 귀찮은 변수가 날아가버리는겁니다. 그럼 우리가 최종적으로 적분하면 되는 것은, 그냥 polar coordinate에서의 적분이 되어버리는겁니다!
물론, 면을 눌렀을 때 법선이 향하는 방향이 x, y 축이라면, 거기에 맞게 또 곱해주는 법선벡터를 달리 해주면 되는 것이구요.