[전자기학] 왜 광속 c는 투자율과 유전율로 표현이 될까?

[camelmark]

우리가 흔히 아는 맥스웰 방정식은 아래의 네 가지 식입니다.
가장 잘 알려져 있는 적분형으로 적어볼게요.

• \iint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \cfrac{Q_{in}}{ \epsilon_0} : Gauss’s law
• \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0 : There’s no magnetic monopole.
• \oint_C\vec{E} \cdot d\vec{L} = -\cfrac{d\Phi_B}{dt} : Faraday’s law of induction.
• \oint_C \vec{B}\cdot d\vec{L} = \mu_0I_c + \mu_0 \epsilon_0 \cfrac{d\Phi_E}{dt} : Ampere-Maxwell equation which concerns about the electric displacement field.

위의 네 식 모두 진공에서 진행하는 전자기파에 대한 서술이므로 변위장을 쓰지 않았고 투자율과 유전율 모두 진공에서의 값을 썼습니다.

이제 우리는 진공에서 Maxwell’s equation의 해 가운데 Cartesian coordinate에서 x-axis로 진행하는 평면파 solution을 가지고 계산을 할 겁니다.

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다음과 같은 전자기파의 propagation을 생각합시다.

이 때 전기장과 자기장의 벡터는 각각
\vec{\mathbf{E}} ={E}(x,t) \hat{\mathbf{y}}
\vec{\mathbf{B}} = {B}(x,t) \hat{\mathbf{z}}
로 쓸 수 있으며, 단일 frequency를 갖는 electromagnetic wave의 각 element는
{E}(x, t) = E_m \sin(kx-wt)
B(x,t) = B_m \sin(kx-wt)
가 됩니다. 여기서 E_m, B_m 은 각각 전기장과 자기장의 maximum amplitude를 의미하고,
w=ck, c는 propagation speed of electromagnetic wave, k는 파수입니다.
(파수의 정의, k = \cfrac {2\pi}{\lambda})

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진공에서의 Faraday’s law에 대한 폐곡선 적분과 편미분방정식 형태 표현

\oint_C\vec{E} \cdot d\vec{L} = -\cfrac{d\Phi_B}{dt} \xleftarrow{\text{대입}} \ \Phi_B = BdA = Bh\cdot dx

(E+dE)h\cos 0 + Eh\cos \pi = -h \cdot dx \cfrac{d\mathbf{B}}{dt}

정리하면,

h \cdot dE = - h\cdot dx \cfrac{dB}{dt}

즉, \cfrac{dE}{dx} = - \cfrac{dB}{dt}

이때 E, B는 x, t에 대한 이변수 함수입니다. \cfrac{dE}{dx} 를 계산 시에는 x를 상수로,
\cfrac{dB}{dt} 를 계산할 때에는 t를 상수로 봐야합니다. 즉, 저 전미분은 엄밀히 표현하려면 편미분으로 바꿔줘야 한다는 뜻이 됩니다.

\cfrac{\partial E}{\partial x} = - \cfrac{\partial B}{\partial t}, 단 \vec{\nabla}\times \mathbf{E} = -\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} 의 형식으로 기술하여 Derivative form of Faraday’s law를 유도했습니다.

이제, 여기에 위에 있는 파동함수 E(x,t), B(x,t)를 고대로 맞춰서 대입해주면

kE_m = - (-w)B_m \ \ \ \ \ \ \therefore \cfrac{E_m}{B_m} = \cfrac {w}{k} = c

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진공에서의 Ampere-Maxwell equation에 대한 폐곡선적분과 편미분방정식 형태 표현

\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{L} = \mu_0I_c + \mu_0 \epsilon_0 \cfrac{d\Phi_E}{dt} 에서 도선이 존재하지 않는 진공에서의 기술이므로 I = 0,

즉, \oint_C \vec{B}\cdot d\vec{L} =\mu_0 \epsilon_0 \cfrac{d\Phi_E}{dt}\xleftarrow{\text{대입}} \ \Phi_E = EdA = Eh\cdot dx

(B+dB)h \cos \pi + Bh \cos 0 = \mu_0 \epsilon_0 h dx \cfrac{dE}{dt}

계산 후 정리하면 -hdB = \mu_0 \epsilon_0 h dx \cfrac{dE}{dt} \Longrightarrow -\cfrac{dB}{dx} = \mu_0 \epsilon_0 \cfrac {dE}{dt}

마찬가지로 E, B 는 x, t에 대한 이변수 함수이므로 , B가 있는 항은 t를 상수로 보고, E가 있는 항은 x를 상수로 보고 계산해야합니다. 그러므로 마찬가지로 편미분으로 보정해주면

-\cfrac{\partial \mathbf{B}} {\partial x} = \mu_0 \epsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, 단 \vec{ \nabla } \times \vec{\mathbf{B}} = \mu_0 \epsilon_0 \cfrac {\partial \vec{\mathbf{E}}} {\partial t} 로 기술하여 Derivative form of Ampere-Maxwell law를 유도했습니다.

이제 위의 파동함수를 마찬가지로 저 편미분방정식에 대입하여 계산하면

-kB_m = \mu_0 \epsilon_0 (-w) E_m \ \ \ \ \ \ \therefore \cfrac {E_m}{B_m} = \cfrac {k}{w\mu_0 \epsilon_0} = \cfrac {1}{c\mu_0 \epsilon_0 }

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이제 위의 두 값을 같다고 두면,

\cfrac {E_m}{B_m} = c =\cfrac {1}{c\mu_0 \epsilon_0 } \Longrightarrow c^2 = \cfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0}

\therefore c = \cfrac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \ \ \ \blacksquare

증명을 마칩니다.

[starrynight]

좋은 글 잘 읽었습니다!

읽으시는 분들을 위해 다른 방식의 수학적 접근을 소개합니다.
미분형으로 Maxwell equation을 다음과 같은 형태로도 표현할 수 있습니다.
\nabla \cdot \textbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \quad (1)
\nabla \cdot \textbf{B} = 0\ \quad (2)
\nabla \times \textbf{E} = -\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t} \quad (3)
\nabla \times \textbf{B} = \mu_0 \textbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \textbf{E}}{\partial t} \quad (4)

다음과 같은 Vector calculus의 identity를 이용하면 전자기파의 wave equation을 손쉽게 유도할 수 있습니다.

\nabla \times \nabla \times \textbf{A} = \nabla(\nabla\cdot \textbf{A}) - \nabla^2 \textbf{A}

진공 중에서(\rho=0,\;\textbf{J}=0)
eq (3)에 curl을 취하고, 위의 identity를 이용하면 전기장에 대한 wave equation을 얻을 수 있습니다.

(\text{LHS})\;\nabla \times \nabla \times \textbf{E} = \nabla(\nabla\cdot \textbf{E}) - \nabla^2 \textbf{E} = - \nabla^2 \textbf{E} \\ (\text{RHS})\;-\nabla\times\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t} (\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \textbf{E}}{\partial t}) = -\frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2}\;(\text{by}\;(4))

\nabla^2 \textbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2}

동일한 방법으로 eq (4)에 curl을 취하여 자기장에 대한 wave equation을 얻을 수 있습니다.

\nabla^2 \textbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \textbf{B}}{\partial t^2}

wave equation의 가장 단순한 해로서, z축으로 진행하는 단색 평면파를 생각할 수 있습니다. (Monochromatic plane wave, 고정된 진동수 \omega 로 파면의 모양이 평면인 파동을 말합니다.) 이를 complex notation으로 표현하면 다음과 같습니다.

\tilde{\textbf{E}} = \tilde{\textbf{E}_0}e^{i(kz-\omega t)},\;\tilde{\textbf{B}} = \tilde{\textbf{B}_0}e^{i(kz-\omega t)}

두 식을 각각 eq (1), (2) 에 대입하면,

\nabla \cdot \tilde{\textbf{E}} = ik\tilde{E_{0,z}} e^{i(kz-\omega t)}=0\\ \nabla \cdot \tilde{\textbf{B}} = ik\tilde{B_{0,z}} e^{i(kz-\omega t)}=0

따라서 \tilde{E_{0,z}}=0, \tilde{B_{0,z}}=0 이라는 결론을 얻습니다. 이는 진행 방향에 수직인 전/자기장 성분만이 존재할 수 있음을 의미합니다. (Transversal wave)

또한 eq (3)으로 부터(또는 (4))

-k\tilde{E_{0,y}} = \omega \tilde{B_{0,x}},\;. k\tilde{E_{0,x}} = \omega \tilde{B_{0,y}} \; \rightarrow \tilde{\textbf{B}_0} = \frac{k}{\omega}(\hat{z}\times\tilde{\textbf{E}_0})

를 얻으며, 이는 전기장과 자기장이 서로 수직하고, 동일한 위상을 가짐을 의미합니다. (위 게시글의 직교좌표계에 기반한 접근이 타당한 가정임을 설명할 수 있습니다.)

참고

*Kronecker Delta
\delta_{ij} = \begin{cases} 1\quad i=j \\ 0\quad i\neq j \end{cases}
*Levi-civita symbol
\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1\;(\text{cyclic permutation}),\\-1\;(\text{anti-cyclic}),\\0\;(\text{otherwise}) \end{cases}

(proof)(with Einstein noation, (dummy index(equal indexes) = summation)
\left( \nabla \times \nabla \times \textbf{A} \right)_i \\ = \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} \partial_j (\partial_l A_m) \\ = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_j(\partial_l A_m) \\= \partial_i(\partial_j A_j) - \partial_j (\partial_j A_i)\\ =\nabla(\nabla\cdot \textbf{A}) - \nabla^2 \textbf{A}\quad \blacksquare .